Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点，则直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系，求出平面A₁AB的法向量，利用向量法结合线面角的定义进行求解即可．

解答 解：∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点，
∴OB⊥侧面AA₁C₁C，
建立以O为坐标原点，OA，OB，OA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则OA=OC=1，OA₁=$\sqrt{3}$，OB=1，
则A（1，0，0），B（0，1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（-1，0，0），
设平面A₁AB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=-x+y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=-x+$\sqrt{3}$z=0，
令z=1，则x=y=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
∴sin＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{n}$＞=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3+3+1}•\sqrt{1+3}}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
故选：B．

点评 本题主要考查线面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．