Question

2．已知a＞0，b＞0，用下面要求的方法证明：$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．
（1）分析法；
（2）反证法．

Answer 1

分析 （1）从结论出发，逐步寻找结论的必要条件，直到明显的结论a²+b²≥ab；
（2）先假设原命题不成立，得出反面成立，根据反面推到，得出矛盾，从而肯定原结论成立．

解答 （1）分析法：要证$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$成立，
只需证（$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$）²≥（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²，
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b
∴a³+b³≥（a+b）（ab），
即（a+b）（a²-ab+b²）≥（a+b）ab，
即a²+b²≥2ab，显然成立，
故原命题成立；
（2）反证法：
假设原命题不成立，则$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$＜$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$成立，
∴（$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$）²＜（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²，
∴（$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$）²＜（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²，
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{a}$＜a+b
∴a³+b³＜（a+b）（ab），
即（a+b）（a²-ab+b²）＜（a+b）ab，
∴a²+b²＜2ab，与均值定理a²+b²≥2ab矛盾，
故假设不成立，所以原命题成立．

点评 考查了分析法和反证法的做题格式．属于基础题，应熟练掌握．