Question

9．某单位举行联欢活动，每名职工均有一次抽奖机会，每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取1个球，已知甲箱中装有3个红球，5个绿球，乙箱中装有3个红球，3个绿球，2个黄球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若都是绿球，则获得二等奖；若只有1个红球，则获得三等奖；若1个绿球和1个黄球，则不获奖．
（Ⅰ）求每名职工获奖的概率；
（Ⅱ）设X为前3名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A表示“从甲箱中摸出1个绿球”，B表示“从乙箱中摸出1个黄球”，依题意，没获奖的事件为AB，先求出没获奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出每名职工获奖的概率．
（Ⅱ）每名员工获得一等奖或二等奖的概率为$\frac{3}{8}$，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{3}{8}）^{k}（1-\frac{3}{8}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，由此能求出X的分布列及E（X）．

解答 解：（Ⅰ）设A表示“从甲箱中摸出1个绿球”，B表示“从乙箱中摸出1个黄球”，
依题意，没获奖的事件为AB，其概率为P（AB）=P（A）P（B）=$\frac{5}{8}×\frac{2}{8}$=$\frac{5}{32}$，
∴每名职工获奖的概率p=1-P（AB）=1-$\frac{5}{32}$=$\frac{27}{32}$．
（Ⅱ）每名员工获得一等奖或二等奖的概率为p=$\frac{3}{8}×\frac{3}{8}+\frac{5}{8}×\frac{3}{8}$=$\frac{3}{8}$，
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{3}{8}）^{k}（1-\frac{3}{8}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{5}{8}）^{3}$=$\frac{125}{512}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{8}）（\frac{5}{8}）^{2}$=$\frac{225}{512}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{8}）^{2}（\frac{5}{8}）$=$\frac{135}{512}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{3}{8}）^{3}$=$\frac{27}{512}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{512}$	$\frac{225}{512}$	$\frac{135}{512}$	$\frac{27}{512}$

∴E（X）=$0×\frac{125}{512}+1×\frac{225}{512}+2×\frac{135}{512}+3×\frac{27}{512}$=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．