Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2，AB=1，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3，设G为PB中点，点F在线段PD上且PF=2FD．
（1）求点G到ACF的距离；
（2）在线段PC上是否存在点E，使得BE∥面ACF，若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由验证利用余弦定理可得：AC²=3，于是AB²+AC²=BC²．可得AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．利用$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FD}$，可得F坐标．设面ACF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用点G到ACF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．
（2）取线段PC的中点E，使得BE∥面ACF，只要证明$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=0，且BE?面ACF，即可得出BE∥平面ACF．

解答 （Ⅰ）解：∵由AD=2，AB=1，ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，
∴AC²=1²+2²-2×1×2cos60°=3，
∴AB²+AC²=BC²=4．
∴AB⊥AC．
又∵PA⊥面ABCD，∴以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
D（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，3），G$（\frac{1}{2}，0，\frac{3}{2}）$．
设F（x，y，z），∵$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FD}$，（x，y，z-3）=2（-1-x，$\sqrt{3}$-y，-z）．解得：x=-$\frac{2}{3}$，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，z=1，∴F$（-\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}，1）$．
设面ACF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{-\frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}y+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（3，0，2）．
∴点G到ACF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}+3}{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{9\sqrt{13}}{26}$．
（2）解：取线段PC的中点E，使得BE∥面ACF，E$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．
$\overrightarrow{BE}$=$（-1，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=-3+0+$\frac{3}{2}×3$=0，
∴$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{BE}$，且BE?面ACF，
∴BE∥平面ACF．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．