Question

6．已知一组数据1，3，5，7的方差为n，则在二项式（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{12}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 由条件利用方差的定义求得n，再求得（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）²⁰的展开式的通项公式，求得有理项共有7项，而所有项共有21项，从而求得取到有理项的概率．

解答 解：由题意可得，数据1，3，5，7的平均值为4，它的方差为n=（1-4）²+（3-4）²+（5-4）²+（7-4）²=20，
二项式（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ=（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）²⁰的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{20}^{r}$•（-1）^r•2^20-r•${x}^{20-\frac{4r}{3}}$．
令20-$\frac{4r}{3}$为整数，可得r=0，3，6，9，12，15，18，共计7项，而展开式共有21项，
故在所有项中任取一项，取到有理项的概率为$\frac{7}{21}$=$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查方差的定义，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．