已知平面向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|.|$\overrightarrow{b}$|.|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|∈[1.3]．则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|∈[1，3]．则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是[-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

分析根据题意，求出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$时$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最大值，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=3，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$时$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最小值．

解答解：平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|∈[1，3]；
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$∈[1，9]；
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$∈[$\frac{1}{2}$-$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}}{2}$，$\frac{9}{2}$-$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}}{2}$]；
当|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$时，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3，
此时$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，取得最大值；
当|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=3，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$时，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=3，
此时$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3×3×cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{9}{2}$，取得最小值；
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是[-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是综合题．