Question

设数列{an}共有n（）项，且，对每个i (1≤i≤，iN)，均有

．

（1）当时，写出满足条件的所有数列{an}（不必写出过程）；

（2）当时，求满足条件的数列{an}的个数．

 

Answer 1

（1）共有3个：； 1，1，1； 1，2，1;（2）数列{an}的个数为393．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可得当时，有，因为题中要求，，也就是说，，这样即可得或或，故此时满足条件的数列{an}共有3个：； 1，1，1； 1，2，1;（2）由题中要求可联想到令bi＝ (1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{an}，满足条件：，且bi∈ (1≤i≤7)，则此时可设符合条件的数列{bn}的个数为N， bi (1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1，当k给定时，{bn}的取法有种，故此时．

试题解析：（1）当时，．

因为，，即，，

所以或或．

故此时满足条件的数列{an}共有3个：； 1，1，1； 1，2，1． 3分

（2）令bi＝ (1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{an}，满足条件：

，且bi∈ (1≤i≤7)．

反之，由符合上述条件的7项数列{bn}可唯一确定一个符合条件的8项数列{an}． 7分

记符合条件的数列{bn}的个数为N．

显然，bi (1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1．

当k给定时，{bn}的取法有种，易得k的可能值只有0，1，2，3，

故．

因此，符合条件的数列{an}的个数为393． 10分

考点：1.数列的递推关系;2.排列组合的应用;3.代数式的处理