Question

设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.

所以≥1.