Question

已知{a_n}的首项为a₁，公比q为正数（q≠1）的等比数列，其前n项和为S_n，且5S₂=4S₄．
（1）求q的值；
（2）设b_n=q+S_n，请判断数列{b_n}能否为等比数列，若能，请求出a₁的值，否则请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把等比数列的求和公式代入且5S₂=4S₄．进而求得q．
（2）根据（1）中求得的q，代入等比数列求和公式，进而得到b_n的通项公式，要使{b_n}为等比数列，需

1

2

+2a1=0，进而求得a₁，进而得出结论．

解答：解：（1）由题意知5S₂=4S₄
∴

5a1(1-q2)

1-q

=

4a1(1-q4)

1-q

∵a₁≠0，q＞0且q≠1∴（1+q²）=5，
∴得q=

1

2

；
（2）∵Sn=

a1(1-qn)

1-q

=2a1-a1(

1

2

)n-1
∴bn=q+sn=

1

2

+2a1-a1(

1

2

)n-1
要使{b_n}为等比数列，当且仅当

1

2

+2a1=0
即a1=-

1

4

，此bn=(

1

2

)n+1为等比数列，
∴{b_n}能为等比数列，此时a1=-

1

4

.

点评：本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和公式的运用．等比数列的公式教为复杂，应加强记忆．