题目内容
7．已知递增等比数列{an}的第3项，第5项，第7项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后构成一个等差数列，则数列an的公比为（ ）| A． | $±\sqrt{2}$ | B． | $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
分析 利用等差数列与等比数列的通项公式、单调性即可得出．
解答 解：设递增等比数列{an}的公比为q，∵第3项，第5项，第7项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后构成一个等差数列，
∴a3a5a7=${a}_{5}^{3}$=512，2（a5-3）=a3-1+a7-9，即2（a5-3）=$\frac{{a}_{5}}{{q}^{2}}$+${a}_{5}{q}^{2}$-10，
解得a5=8，2q4-5q2+2=0，
q2=$\frac{1}{2}$，或2．
q=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，$±\sqrt{2}$，
∵数列{an}为递增的等比数列，∴q=$\sqrt{2}$．
故选：D．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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