Question

如图，平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧棱AA₁长为2，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝60°则此平行六面体的体积为________

Answer 1

答案：
解析：

解法一：过点A1做A1O⊥平面ABCD，垂足为O，过O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分别为E、F，连结A1E，A1F，可知O在∠BAD的平分线AC上． 　　∴cos∠A1AO·cos∠OAF＝·＝＝cos∠A1AF 　　即cos∠A1AO·cos45°＝cos60° 　　∴cos∠A1AO＝ 　　∴sin∠A1AO＝ 　　∴A1O＝A1Asin∠A1AO＝ 　　∴V＝SABCD·A1O＝ 　　解法二：过B作BE⊥A1A，连结DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下两部分，若把两部分重新组合，让面A1D1B1与面ADB重合，则得到一直棱柱，ΔBDE是其底面，DD1是其侧棱，并且和斜三棱柱A1B1D1－ABD的体积相等． 　　取BD中点O，连结OE，易知 　　SΔBED＝BD·OE＝BD· 　　＝··＝ 　　∴V直棱柱＝SΔDEB·DD1 　　＝×2＝＝ 　　∴＝2＝ 　　解析一：求平行六面体ABCD－A1B1C1D的体积，应用公式．由于底面是正方形，所以关键是求高，即到底面ABCD的距离 　　分析二：如图，平行六面体的对角面B1D1DB把平行六面体分割成两个斜三棱柱，它们等底面积、等高、体积相等，考察其中之一三棱柱A1B1D1－ABD． 　　点评：在解决体积问题时，“割”“补”是常用的手段，另外本题分析二给出了求斜棱柱体积的另一方法：斜棱柱的体积＝直截面面积×侧棱长．