Question

15．已知集合S=$\left\{{k\left|{1≤k≤\frac{{{3^n}-1}}{2}，k∈{N^*}}\right.}\right\}$（n≥2，且n∈N^*）．若存在非空集合S₁，S₂，…，S_n，使得S=S₁∪S₂∪…∪S_n，且S_i∩S_j=∅（1≤i，j≤n，i≠j），并?x，y∈S_i（i=1，2，…，n），x＞y，都有x-y∉S_i，则称集合S具有性质P，S_i（i=1，2，…，n）称为集合S的P子集．
（Ⅰ）当n=2时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集S₁，S₂；
（Ⅱ）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设T′={s+3ⁿ|s∈T}，求证：?x，y∈T∪T′，x＞y，都有x-y∉T∪T′；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据新定义，即可求出的P子集S₁，S₂；
（Ⅱ）分类讨论，根据定义即可证明，
（Ⅲ）利用数学归纳法证明即可．

解答 证明：（Ⅰ）当n=2时，S={1，2，3，4}，令S₁={1，4}，S₂={2，3}，
则S=S₁∪S₂，且对?x，y∈S_i（i=1，2），x＞y，都有x-y∉S_i，
所以S具有性质P．相应的P子集为S₁={1，4}，S₂={2，3}．     
（Ⅱ）①若$x，y∈T（1≤y＜x≤\frac{{{3^n}-1}}{2}）$，由已知x-y∉T，
又$x-y≤\frac{{{3^n}-1}}{2}-1＜{3^n}$，所以x-y∉T'．所以x-y∉T∪T'．
②若x，y∈T'，可设x=s+3ⁿ，y=r+3ⁿ，r，s∈T，且$1≤r＜s≤\frac{{{3^n}-1}}{2}$，
此时$x-y=（s+{3^n}）-（r+{3^n}）=s-r≤\frac{{{3^n}-1}}{2}-1＜{3^n}$．
所以x-y∉T'，且x-y=s-r∉T．所以x-y∉T∪T'．
③若y∈T，x=s+3ⁿ∈T'，s∈T，
则$x-y=（s+{3^n}）-y=（s-y）+{3^n}≥（1-\frac{{{3^n}-1}}{2}）+{3^n}=\frac{{{3^n}+3}}{2}＞\frac{{{3^n}-1}}{2}$，
所以x-y∉T．
又因为y∈T，s∈T，所以s-y∉T．所以x-y=（s+3ⁿ）-y=（s-y）+3ⁿ∉T'．
所以x-y∉T∪T'．
综上，对于?x，y∈T∪T'，x＞y，都有x-y∉T∪T'．   
（Ⅲ）用数学归纳法证明．
（1）由（Ⅰ）可知当n=2时，命题成立，即集合S具有性质P．
（2）假设n=k（k≥2）时，命题成立．即$S=\{1，2，3，…，\frac{{{3^k}-1}}{2}\}={S_1}∪{S_2}∪…∪{S_k}$，
且S_i∩S_j=∅（1≤i，j≤n，i≠j），?x，y∈S_i（i=1，2，…，k），x＞y，都有x-y∉S_i．
那么当n=k+1时，记${S'_i}=\{s+{3^k}|s∈{S_i}\}$，i=1，2，…k，
并构造如下k+1个集合：S''₁=S₁∪S'₁，S''₂=S₂∪S'₂，…，S''_k=S_k∪S'_k$\frac{{{3^k}-1}}{2}+r，\frac{{{3^k}-1}}{2}+s∈{S''_{k+1}}$
，${S''_{k+1}}=\{\frac{{{3^k}-1}}{2}+1，\frac{{{3^k}-1}}{2}+2，…，2×\frac{{{3^k}-1}}{2}+1\}$，
显然S''_i∩S''_j=∅（i≠j）．
又因为$\frac{{{3^{k+1}}-1}}{2}=3×\frac{{{3^k}-1}}{2}+1$，所以${S''_1}∪{S''_2}∪…∪{S''_k}∪{S''_{k+1}}=\{1，2，3，…，\frac{{{3^{k+1}}-1}}{2}\}$．
下面证明S_i″中任意两个元素之差不等于S_i″中的任一元素（i=1，2，…，k+1）．
①若两个元素，$1≤r＜s≤\frac{{{3^k}-1}}{2}+1$，
则$（\frac{{{3^k}-1}}{2}+s）-（\frac{{{3^k}-1}}{2}+r）=s-r≤\frac{{{3^k}-1}}{2}$，
所以$（\frac{{{3^k}-1}}{2}+s）-（\frac{{{3^k}-1}}{2}+r）∉{S''_{k+1}}$．
②若两个元素都属于S''_i=S_i∪S'_i（1≤i≤k），
由（Ⅱ）可知，S''_i中任意两个元素之差不等于S''_i中的任一数（i=1，2，…，k+1）．
从而，n=k+1时命题成立．
综上所述，对任意正整数n≥2，集合S具有性质P．

点评 本题考查了考查了子集的概念，以及性质P的定义，还考查了新定义概念的应用．难点是对新定义的准确理解和运用，还要能进行归纳推理．本题的思维量和计算量较大，有难度，属于难题．