Question

在平面直角坐标系中有两点A₁（a，0），B₁（0，a）其中a＞0，过△OA₁B₁内心C₁作平行A₁B₁的直线A₂B₂分别交x轴、y轴于A₂，B₂，再过△OA₂B₂内心C₂作平行A₁B₁的直线A₃B₃…，设△OA_nB_n的直角边长为x_n，则x_n与x_n-1之间的关系是

xn=(2-

2

)xn-1

．

Answer 1

分析：首先应求出x₂．设C₁（m，m）（m＞0），则△OA₁B₁内切圆半径r=m，且OA₂=

2

OC₁=

2

×

2

m，关键是如何求解m（r）：利用等面积法，S_△OA1B1=

1

2

a²=

1

2

c•m（c为△OA₁B₁ 周长），可求出r，由此确定出x₁与x₂之间的关系
，依此类推，得出x_n与x_n-1之间的关系．

解答：解：如图所示，设C₁（m，m）（m＞0），则△OA₁B₁内切圆半径r=m．
利用等面积法，S_△OA1B1=

1

2

a²=

1

2

c•m（c为△OA₁B₁ 周长），
∴m=

a2

2a+ 2 a

=

2- 2

2

a，
根据直角三角形的性质得，OA₂=

2

OC₁=

2

×

2

m=（2-

2

）a，
即x₂=（2-

2

）a，∴

x2

x1

=2-

2

，
以（2-

2

）a代替a，可得OA₃=（2-

2

）（2-

2

）a，
∴

x3

x2

=2-

2

，依此类推可得
xn=(2-

2

)xn-1．
故答案为：xn=(2-

2

)xn-1

点评：本题考查数列递推公式求解，三角形与内切圆关系的应用，等面积法．关键是求内切圆半径，以便求出直角三角形的直角边．