Question

7．已知函数f（x）=x³+2ax²+1在x=1处的切线的斜率为1，则实数a=$-\frac{1}{2}$，此时函数y=f（x）在[0，1]最小值为$\frac{23}{27}$．

Answer 1

分析 求导数，利用函数f（x）=x³+2ax²+1在x=1处的切线的斜率为1，求出a的值，确定函数的单调性，即可求出函数y=f（x）在[0，1]最小值．

解答 解：由f（x）=x³+2ax²+1，得到f′（x）=3x²+4ax，
因为函数f（x）=x³+2ax²+1在x=1处的切线的斜率为1，
所以f′（1）=1，即3+4a=1，解得a=$-\frac{1}{2}$．
f′（x）=3x²-2x，x∈（0，$\frac{2}{3}$），f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（$\frac{2}{3}$，1），f′（x）＞0，函数单调递增，
∴函数y=f（x）在[0，1]最小值为f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{23}{27}$．
故答案为$-\frac{1}{2}$，$\frac{23}{27}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了导数的几何意义，考查函数的最小值，是个基础题．