Question

12．（1）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4$\sqrt{2}sin（{\frac{3π}{4}-θ}）$，过P（0，2）作斜率为$\sqrt{3}$的直线l交曲线C于点A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
（2）已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}$（θ为参数），若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}（{t为参数}）$的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C的普通方程和直线AB的参数方程，联立方程组，根据参数的几何意义和根与系数的关系得出答案；
（2）求出曲线C₁的参数方程和直线l的普通方程，根据距离公式得出P到直线l的距离d关于参数θ的表达式，利用三角函数的性质得出d的最小值．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ）=4cosθ+4sinθ，
∴ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，
∴曲线C的普通方程为x²+y²=4x+4y，即x²+y²-4x-4y=0，
直线AB的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C的普通方程得：t²-2t-4=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=4．
（2）曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
直线l的普通方程为：$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
∴P到直线l的距离为d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}{2}$=|$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$θ+\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$|，
∴当cos（$θ+\frac{π}{4}$）=1时，d取得最小值|$\frac{\sqrt{6}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$|=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程的应用，属于中档题．