Question

4．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥与其外接球的体积比是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{9π}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{9π}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{16π}$
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{π}$

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个四棱锥，画出直观图可知该棱锥是正方体的一部分，由三视图求出正方体的棱长，求出外接球的半径，利用球的体积公式求出外接球的体积，由正方体的性质求出椎体的高，由椎体的体积公式求出该几何体的体积，求出此棱锥与其外接球的体积比．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P-ABCD，如图所示：
由图知该棱锥是正方体的一部分，且正方体的棱长是2，
∴正方体和四棱锥的外接球相同，
设外接球的半径是R，则2R=2$\sqrt{3}$，得R=$\sqrt{3}$，
∴外接球的体积V_球=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}π$，
∵BC=AD=$2\sqrt{2}$，AB⊥AD，∴矩形ABCD的面积S=4$\sqrt{2}$，
∵CD⊥平面PBC，
∴P到平面ABCD的距离是等腰直角△PBC斜边BC的高，为$\sqrt{2}$，
∴四棱锥P-ABCD的体积V_锥=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$，
∴此棱锥与其外接球的体积比是：$\frac{\frac{8}{3}}{4\sqrt{3}π}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9π}$，
故选：A．

点评 本题考查三视图求几何体的体积，线面垂直关系的判断，由三视图和对应的正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．