Question

13．已知函数f（x）=mlnx+2nx²+x（x＞0，m∈R，n∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+y-1=0，求f（x）的递增区间；
（2）若m=1，是否存在n∈R，使f（x）的极值大于零？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，从而求出f（x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）求出f（x）的导数，通过讨论n的范围，得到n≥0时，不合题意，n＜0时，问题转化为求使f（x₂）＞0的实数m的取值范围，构造函数g（x）=lnx+$\frac{x-1}{2}$，求出g（x）的单调性，从而求出n的范围即可．

解答 解：（1）由题意得：f′（x）=$\frac{m}{x}$+4nx+1，f′（1）=1+m+4n，
由f（1）=-1，得：k=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=1+m+4n=-2}\\{f（1）=2n+1=-1}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=-1，
∴f（x）=lnx-2x²+x，
∴f′（x）=$\frac{-{4x}^{2}+x+1}{x}$（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$）递增；
（2）由题意得：f（x）=lnx+2nx²+x，f′（x）=$\frac{4{nx}^{2}+x+1}{x}$（x＞0），
①n≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故无极值，
②n＜0时，令f′（x）=0，得：4nx²+x+1=0，则△=1-16n＞0，x₁x₂=$\frac{1}{4n}$＜0，
不妨设x₁＜0，x₂＞0，则f′（x）=$\frac{4n（x{-x}_{1}）（x{-x}_{2}）}{x}$，即求使f（x₂）＞0的实数m的取值范围，
由$\left\{\begin{array}{l}{4{{nx}_{2}}^{2}{+x}_{2}+1=0}\\{l{nx}_{2}+2{{nx}_{2}}^{2}{+x}_{2}＞0}\end{array}\right.$，得：lnx₂+$\frac{{x}_{2}-1}{2}$＞0，
构造函数g（x）=lnx+$\frac{x-1}{2}$，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x） 在（0，+∞）递增，
由g（1）=0，由g（x）＞0，解得：x＞1，
即x₂=$\frac{-1-\sqrt{1-16n}}{8n}$＞1，解得：-$\frac{1}{2}$＜n＜0，
由①②得：n∈（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．