Question

16．已知圆M：x²+（y-1）²=1和点A（1，3），则过点A与圆M相切的直线方程是x=1或3x-4y+9=0．

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，显然直线x=1与圆相切；当与圆相切的直线斜率存在时，设直线的斜率为k，由直线过（1，3），写出直线的方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．

解答 解：由圆x²+（y-1）²=1，得到圆心坐标为（0，1），半径为1，
显然此时直线x=1与圆x²+（y-1）²=1相切；
当与圆相切的直线斜率存在时，设斜率为k，
此时直线的方程为y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r=1，
整理得：（2-k）²=1+k²，解得：k=$\frac{3}{4}$，
此时直线的方程为3x-4y+9=0，
综上，所求直线的方程为：3x-4y+9=0或x=1．
故答案为x=1或3x-4y+9=0．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．