已知AB为圆x2+y2=1的一条直径.点P为直线x-y+4=0上任意一点.则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为( )A．2$\sqrt{2}$B．7C．8D．9 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知AB为圆x²+y²=1的一条直径，点P为直线x-y+4=0上任意一点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为（　　）

A．

2$\sqrt{2}$

B．

C．

D．

分析设A（cosα，sinα），则B（-cosα，-sinα），设P（x，x+4）．代入向量的数量积公式化简得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$关于x的函数，利用二次函数的性质得出最小值．

解答解：设A（cosα，sinα），则B（-cosα，-sinα），设P（x，x+4）．
则$\overrightarrow{PA}$=（cosα-x，sinα-x-4），$\overrightarrow{PB}$=（-cosα-x，-sinα-x-4）．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x²-cos²α+（-x-4）²-sin²α=2x²+8x+15=2（x+2）²+7．
∴当x=-2时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最小值7．
故选：B．

点评本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质，属于中档题．

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