题目内容

4．甲、乙、丙人应邀参加某综艺栏目的猜数游戏，猜中则游戏结束，主持人先给出数字所在区间[3，10]，让甲猜（所猜数字为整数，下同），如果甲猜中，甲将获得1000元奖金；如果甲未猜中，主持人给出数字所在区间[5，8]，让乙猜，如果乙猜中，甲和乙均可获得5000元奖金；如果乙未猜中，主持人给出数字所在区间[6，7]，让丙猜，如果丙猜中，甲、乙和丙均可获得2000元奖金，否则游戏结束．
（1）求甲至少获得5000元奖金的概率；
（2）记乙获得的奖金为X元，求X的分布列及数学期望．

分析 （1）记“甲至少获得5000元奖金”为事件A，利用互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式能求出甲至少获得5000元奖金的概率．
（2）由题意X的可能取值为0，2000，5000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX．

解答 解：（1）记“甲至少获得5000元奖金”为事件A，
则P（A）=$\frac{1}{8}+\frac{7}{8}×\frac{1}{4}$=$\frac{11}{32}$．
（2）由题意X的可能取值为0，2000，5000，
P（X=0）=$\frac{1}{8}+\frac{7}{8}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{29}{64}$，
P（X=2000）=$\frac{7}{8}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{21}{64}$，
P（X=5000）=$\frac{7}{8}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{32}$，
∴X的分布列为：

 X 0 2000 5000
 P $\frac{29}{64}$ $\frac{21}{64}$ $\frac{7}{32}$
EX=$0×\frac{29}{64}+2000×\frac{21}{64}$+$5000×\frac{7}{32}$=1750．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式及相互独立事件概率乘法公式的合理运用．

练习册系列答案
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