Question

11．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有$C_{10}^1$种，摸到红球的结果共有$C_4^1$种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．
（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X-B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y-B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为$P（{Y=k}）=C_{10}^k×{0.4^k}×{0.6^{10-k}}$，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．

解答 解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有$C_{10}^1$种，
摸到红球的结果共有$C_4^1$种，
所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是$\frac{C_4^1}{{C_{10}^1}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．…（2分）
（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X-B（3，0.4），
所以E（X）=np=3×0.4=1.2．
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的
均值为1.2×100=120元．
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，
所以商场经理希望顾客参加抽奖．…（7分）
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y-B（10，0.4）．
于是，恰好k次中奖的概率为$P（{Y=k}）=C_{10}^k×{0.4^k}×{0.6^{10-k}}$，k=0，1，…，10．
从而$\frac{{P（{Y=k}）}}{{P（{Y=k-1}）}}=\frac{{2×（{11-k}）}}{3k}$，k=1，2，…，10，
当k＜4.4时，P（Y=k-1）＜P（Y=k）；
当k＞4.4时，P（Y=k-1）＞P（Y=k），
则P（Y=4）最大．
所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．
于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…（12分）

点评 本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．