Question

5．已知函数f（x）=ax²-2x（a＞0），求函数f（x）在区域[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 求出函数的对称轴方程，讨论当$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜1时；当0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1，结合单调性可得最小值．

解答 解：函数f（x）=ax²-2x（a＞0）的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，
当$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜1时，f（x）在[0，$\frac{1}{a}$）递减，（$\frac{1}{a}$，1]递增，
可得f（$\frac{1}{a}$）取得最小值，且为-$\frac{1}{a}$；
当0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1，f（x）在[0，1]递减，
可得f（1）取得最小值，且为a-2．
综上可得，当0＜a＜1时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{a}$；
当a≥1时，f（x）的最小值为a-2．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，考查运算能力，属于中档题．