Question

3．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，求：
（1）（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）；  
（2）|3$\overrightarrow a$-4$\overrightarrow b$|．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
（1）把要求得数量积展开，代入${\overrightarrow{a}}^{2}、{\overrightarrow{b}}^{2}、\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$得答案；
（2）求出$|3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}{|}^{2}$，开方得答案．

解答 解：由$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，得
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos 120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4．
（1）（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$=4²-2×（-4）+（-4）-2×2²=12；
（2）∵$|3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}{|}^{2}=9{\overrightarrow{a}}^{2}-24\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{\overrightarrow{b}}^{2}$=9×4²-24×（-4）+16×2²=16×19，
∴|3$\overrightarrow a$-4$\overrightarrow b$|=4$\sqrt{19}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．