Question

如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.

（1）若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；

（2）若求椭圆离心率e的值.

 

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由|BF2|=知=2，将C点坐标代入椭圆方程即可求出b，从而写出椭圆方程；（2）由两点式求出BF2方程，将BF2方程与椭圆方程联立求出A点坐标，从而写出C的坐标，利用则其斜率之积为-1，列出关于a,c方程，从而求出椭圆的离心率.

试题解析：设椭圆的焦距为,则且点的坐标分别为

（1）因为

因为点在椭圆上,故,

所以,所求椭圆的方程为.

（2）因为在直线上,所以直线的方程是

由或

所以点坐标为,又轴,由椭圆的对称性,可得

点坐标为

因此直线的斜率为

因为直线的斜率是,由

考虑到,化简得

所以,椭圆的离心率为.

考点：椭圆的几何性质与标准方程，直线与椭圆的位置关系