Question

3．如图，已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x
• B． y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x

Answer 1

分析 设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得m=$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，半径r=$\frac{{a}^{2}}{c}$，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，进而求得渐近线方程..

解答 解：设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），
P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，可得Q（3m，$\frac{3bm}{a}$），
圆的半径为r=|PQ|=$\sqrt{4{m}^{2}+\frac{4{b}^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}}$=2m•$\frac{c}{a}$，
PQ的中点为H（2m，$\frac{2bm}{a}$），
由AH⊥PQ，可得$\frac{2bm}{a（2m-a）}$=-$\frac{a}{b}$，
解得m=$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，r=$\frac{{a}^{2}}{c}$．
A到渐近线的距离为d=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
则|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=r，
即为d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即有$\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$．
可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即有渐近线的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及圆的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．