题目内容

记不等式组 $数学公式$ 表示的平面区域为M．
（Ⅰ）画出平面区域M，并求平面区域M的面积；
（Ⅱ）若点（a，b）为平面区域M中任意一点，求直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的概率．

解：（Ⅰ）联解 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到点 $\text{[math]}$ ；
联解 $\text{[math]}$ ，得x=1，y=3，得到点B（1，3）；联解 $\text{[math]}$ ，得x=1，y=-2，得到点C（1，-2）
∴根据一元二次不等式组表示的平面区域的结论，可得平面区域M表示直线AB下方，直线AC上方且在直线BC左侧的部分
因此，可得平面区域M为：△ABC及其内部，其中 $\text{[math]}$ 、B（1，3）、C（1，-2），（如右图所示）（3分）
∴平面区域M的面积为S= $\text{[math]}$ （5分）
（Ⅱ）要使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，（6分）
又∵点（a，b）的区域为M，
∴使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的点（a，b）的区域为第二象限的阴影部分，
其面积为S'=2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （8分）
故所求的概率为 $\text{[math]}$ （10分）
分析：（I）分别联解方程组，得到三条直线的三个交点的坐标，再根据一元二次不等式组表示的平面区域的结论，可得平面区域M为：△ABC及其内部，其中 $\text{[math]}$ 、B（1，3）、C（1，-2），最后可用三角形面积公式求出区域M的面积．
（II）直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的点（a，b）的区域为区域M内与第二象限交集，即图中阴影部分，可求出其面积S'，最后利用几何概型公式，求出其概率．
点评：本题以二元一次不等式组表示的平面区域为例，考查了平面直角坐标系中求直线交点坐标、二元一次不等式（组）与平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．