Question

20．设定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2．
（1）求f（0），f（2），f（4）的值；
（2）若f（x）为一次函数，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知f（0）=f（2×0）=2f（0）+1，从而f（0）=-1．进而f（2）=f（2×1）=2f（1）+1，f（4）=f（2×2）=2f（2）+1，由此能求结果．
（2）设f（x）=kx+b，k≠0，由f（1）=2，f（0）=-1，得f（x）=3x-1，从而g（x）=（x-m）（3x-1）=3x²-（3m+1）x+m，由此能求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2，
∴f（0）=f（2×0）=2f（0）+1，解得f（0）=-1．
f（2）=f（2×1）=2f（1）+1=2×2+1=5，
f（4）=f（2×2）=2f（2）+1=2×5+1=11．
（2）∵f（x）为一次函数，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上为增函数，
∴设f（x）=kx+b，k≠0，
∵f（1）=2，f（0）=-1，∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得k=3，b=-1，
∴f（x）=3x-1，
则g（x）=（x-m）（3x-1）=3x²-（3m+1）x+m，
由题意得$\frac{3m+1}{6}≤3$，解得m≤$\frac{17}{3}$．
∴m的取值范围（-∞，$\frac{17}{3}$]．

点评 本题考查函数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．