Question

2．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为B，过点B且互相垂直的动直线l₁，l₂与椭圆的另一个交点分别为P，Q，若当l₁的斜率为2时，点P的坐标是（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PQ与y轴相交于点M，设$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）写出直线l的方程y=2x+b，由P点在直线上求得b，得到椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，再由点P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）在椭圆上求得a，则椭圆方程可求；
（2）设直线l₁，l₂的方程分别为y=kx+2，$y=-\frac{1}{k}x+2$，分别联立直线方程与椭圆方程，求得M，Q的坐标，结合$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$求得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）l₁的斜率为2时，直线l₁的方程为y=2x+b．
由l₁过点P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$），得$-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}+b$，即b=2．
∴椭圆C的方程可化为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
由点P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）在椭圆上，得$\frac{25}{9{a}^{2}}+\frac{4}{9}=1$，解得a²=5．
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由题意，直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，
设直线l₁，l₂的方程分别为y=kx+2，$y=-\frac{1}{k}x+2$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（4+5k²）x²+20kx=0，
即${x}_{P}=-\frac{20k}{5{k}^{2}+4}$，同理，可得${x}_{Q}=\frac{\frac{20}{k}}{\frac{5}{{k}^{2}}+4}=\frac{20k}{5+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，得$\frac{20k}{5{k}^{2}+4}=λ\frac{20k}{5+4{k}^{2}}$，
∴$λ=\frac{4{k}^{2}+5}{5{k}^{2}+4}=\frac{4}{5}+\frac{\frac{9}{5}}{5{k}^{2}+4}$，
∵5k²+4＞4，
∴0$＜\frac{\frac{9}{5}}{5{k}^{2}+4}＜\frac{9}{20}$，
∴实数λ的取值范围为（$\frac{4}{5}，\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量法在求解问题中的应用，是中档题．