Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图象可得A，由周期公式可得ω，代入点计算可得φ值，进而可得函数的解析式．
（Ⅱ） 由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，即可解得f（x）的单调区间．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由图象可知A=2，
由于：$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}=\frac{5π}{12}+\frac{π}{12}=\frac{π}{2}$，
所以：ω=2；…（2分）
所以f（x）=2sin（2x+φ），
又因为：图象的一个最高点为$（-\frac{π}{12}，2）$，
所以：$2•（-\frac{π}{12}）+φ=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，解得$φ=\frac{2π}{3}+2kπ（k∈Z）$，
又|φ|＜π，∴$φ=\frac{2π}{3}$．…（4分）
所以：$f（x）=2sin（2x+\frac{2π}{3}）$．…（6分）
（Ⅱ）   由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{7π}{12}+kπ≤x≤-\frac{π}{12}+kπ$，…（8分）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{2π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$，…（10分）
所以，f（x）的单调增区间为$[-\frac{7π}{12}+kπ，-\frac{π}{12}+kπ]（k∈Z）$，
f（x）的单调减区间为$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]（k∈Z）$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想，属于基础题．