Question

以抛物线C：y²=16x上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点，那么该圆的方程为

（x-2）²+(y±4

2

)2=36

．

Answer 1

分析：设A（m，n），根据A到抛物线焦点的距离等于它到原点的距离，结合抛物线方程解出A（2，±4

2

），由此结合圆的标准方程和两点的距离公式即可得到该圆的方程．

解答：解：设A（m，n），可得n²=16m
∵抛物线C的方程为y²=16x，
∴抛物线焦点为F（4，0），顶点为原点（0，0）
∵所求圆以A（m，n）为圆心，过焦点和顶点
∴（m-4）²+n²=m²+n²，解得A（2，±4

2

）
由此，可得圆的半径R满足：R²=m²+n²=36，
解之得R=6（舍负）
结合圆的标准方程，可得圆A的方程为（x-2）²+(y±4

2

)2=36
故答案为：（x-2）²+(y±4

2

)2=36

点评：本题给出圆心在抛物线上，且经过抛物线的焦点和顶点的圆，求圆的方程，着重考查了抛物线的简单性质和圆的标准方程等知识，属于中档题．