Question

4．x，y是实数，则$\sqrt{{{（x-y）}^2}+{{（\sqrt{1-{x^2}}-y+2）}^2}}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 转化为求分别在半圆$y=\sqrt{1-{x^2}}$与直线y=x-2上的两点之间的最小距离

解答 解：转化为求分别在半圆$y=\sqrt{1-{x^2}}$与直线y=x-2上的两点之间的最小距离．
如图所示，可知：在半圆上取点P（1，0）时可得最小值=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\sqrt{{{（x-y）}^2}+{{（\sqrt{1-{x^2}}-y+2）}^2}}$的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．