Question

一块扇形铁皮OPQ半径为1，圆心角为

π

3

，C为扇形弧上的一个动点，现剪下一个矩形ABCD，如图，若∠COP=α，矩形面积记为f（α）
（1）求f（α）的解析式
（2）求当α为何值时矩形ABCD面积最大，并求此最大值．

Answer 1

分析：（1）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；
（2）化简函数，利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值．

解答：解：（1）在Rt△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα
在Rt△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

∴OA=

3

3

BC=

3

3

sinα
∵AB=OB-OA=cosα-

3

3

sinα
∴f（α）=S=AB•BC=（cosα-

3

3

sinα）•sinα（　　）；
（2）f（α）=sinαcosα-

3

3

sin²α=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

∵0＜α＜

π

3

，∴

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

∴2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

时，矩形ABCD面积最大，最大值为

3

6

．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，解题关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．