Question

如图所示，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°。

（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（1）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC
∵平面A₁C₁C⊥平面ABCD，
∴A₁在平面ABCD内的射影落在AC上，
∴AC为AA₁在平面ABCD内的射影
∴BD⊥AA₁。
（2）作OK⊥AA₁于K，连接DK，则DK⊥AA₁，OD⊥OK
故∠DKO为二面角D-A₁A-C的平面角，
∵∠OAK=60°，
∴OK=
而，
∴ tan∠DKO=2，
∴二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是。
（3）存在，点P在C₁C的延长线上且CP=C₁C，证明如下：
延长C₁C到P使CP=C₁C，连接B₁C，BP，则BP∥B₁C
∴BP∥A₁D
又A₁D 平面DA₁C₁，BP平面DA₁C₁，
∴BP∥平面DA₁C₁。