Question

18．如图：三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均相等，AA₁⊥平面ABC，E为AA₁的中点．
（1）求证：平面BC₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）求直线BC₁与平面BB₁A₁A所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接CB₁交BC₁于点O，连接EC，EB₁，推导出EO⊥CB₁，EO⊥BC₁，从而EO⊥平面BCC₁B₁，由此能证明平面EBC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）取A₁B₁的中点为H，连接C₁H、BH，推导出C₁H⊥平面BB₁A₁A，则∠C₁BH为直线BC₁与平面BB₁A₁A所成的角，由此能求出直线BC₁与平面BB₁A₁A所成角的正弦值．

解答 证明：（1）如图1，连接CB₁交BC₁于点O，则O为CB₁与BC₁的中点，
连接EC，EB₁，
依题意有；EB=EC₁=EC=EB₁，…（2分）
∴EO⊥CB₁，EO⊥BC₁，
∵CB₁∩BC₁=O，∴EO⊥平面BCC₁B₁，
∵OE⊆平面BC₁E，∴平面EBC₁⊥平面BCC₁B₁．…（5分）
解：（2）如图2，取A₁B₁的中点为H，连接C₁H、BH，
∵AA₁⊥平面ABC，∴平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁A₁A，
平面A₁B₁C₁∩平面BB₁A₁A=A₁B₁，
又∵A₁C₁=B₁C₁，H为A₁B₁的中点，
∴C₁H⊥A₁B₁，∴C₁H⊥平面BB₁A₁A，
则∠C₁BH为直线BC₁与平面BB₁A₁A所成的角．…（8分）
令棱长为2a，则C₁H=$\sqrt{3}a$，BC₁=$2\sqrt{2}a$，
∴$sin∠{C_1}BH=\frac{{\sqrt{3}a}}{{2\sqrt{2}a}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
所以直线BC₁与平面BB₁A₁A所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．