Question

11．下列函数中最小值是4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$
• C． y=2^1+x+2^1-x
• D． y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$+3，x≠0

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的规律，逐个选项验证可得．

解答 解：选项A，若x＜0则x+$\frac{4}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-4，不满足最小值是4，故错误；
选项B，由基本不等式可得当且仅当sinx=$\frac{4}{sinx}$即sinx=±2取等号，由三角函数可知不成立，故错误；
选项C，y=2^1+x+2^1-x≥2$\sqrt{{2}^{1+x}•{2}^{1-x}}$=4，当且仅当2^1+x=2^1-x即x=0时取等号，故正确；
选项D，y=x²+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$+3=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$+2≥2$\sqrt{（{x}^{2}+1）•\frac{1}{{x}^{2}+1}}$+2=4，当且仅当x²+1=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$即x=0时取等号，
但题目限制x≠0，故取不到等号，故错误．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．