Question

3．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上非顶点的两点，且△OMN的面积等于$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A作AP∥OM交椭圆C于点P，求证：BP∥ON．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）解法一、设直线OM，ON的方程为y=k_OMx，y=k_ONx，代入椭圆方程，求得M，N的坐标，求出△OMN的面积，由条件可得${k_{OM}}{k_{ON}}=-\frac{1}{2}$．设P（x_P，y_P），则$4-x_P^2=2y_P^2$，又已知k_AP=k_OM，即证k_BP=k_ON即可；
解法二、设直线AP的方程为y=k_OM（x+2），代入x²+2y²=4，求出P的坐标和BP的斜率，所以只需证$-\frac{1}{{2{k_{OM}}}}={k_{ON}}$，即${k_{OM}}{k_{ON}}=-\frac{1}{2}$，即可得到证明．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
代入点（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{2{b}^{2}}$=1，
解得，a=2，b=$\sqrt{2}$，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；    
（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM，ON的方程为y=k_OMx，y=k_ONx，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y={k_{OM}}x\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，解得$M（\frac{2}{{\sqrt{1+2k_{OM}^2}}}，\frac{{2{k_{OM}}}}{{\sqrt{1+2k_{OM}^2}}}）$，
同理可得$N（-\frac{2}{{\sqrt{1+2k_{ON}^2}}}，-\frac{{2{k_{ON}}}}{{\sqrt{1+2k_{ON}^2}}}）$，
作MM'⊥x轴，NN'⊥x轴，M'，N'是垂足，
S_△OMN=S_梯形MM'N'N-S_△OMM'-S_△ONN'=$\frac{1}{2}[（{y_M}+{y_N}）（{x_M}-{x_N}）-{x_M}{y_M}+{x_N}{y_N}]$
=$\frac{1}{2}（{x_M}{y_N}-{x_N}{y_M}）$=$\frac{1}{2}（\frac{{-4{k_{ON}}}}{{\sqrt{1+2{k^2}_{OM}}\sqrt{1+2{k^2}_{ON}}}}+\frac{{4{k_{OM}}}}{{\sqrt{1+2{k^2}_{OM}}\sqrt{1+2{k^2}_{ON}}}}）$
=$\frac{{2（{k_{OM}}-{k_{ON}}）}}{{\sqrt{1+2{k^2}_{OM}}\sqrt{1+2{k^2}_{ON}}}}$，
已知S_△OMN=$\sqrt{2}$，化简可得${k_{OM}}{k_{ON}}=-\frac{1}{2}$．
设P（x_P，y_P），则$4-x_P^2=2y_P^2$，
又已知k_AP=k_OM，所以要证k_BP=k_ON，
只要证明${k_{AP}}{k_{BP}}=-\frac{1}{2}$，
而${k_{AP}}{k_{BP}}=\frac{y_P}{{{x_P}+2}}\frac{y_P}{{{x_P}-2}}=\frac{{{y^2}_P}}{{{x^2}_P-4}}=-\frac{1}{2}$，
所以可得BP∥ON．
（M，N在y轴同侧同理可得）．
解法二：设直线AP的方程为y=k_OM（x+2），代入x²+2y²=4，
得$（2k_{OM}^2+1）{x^2}+8k_{OM}^2x+8k_{OM}^2-4=0$，它的两个根为-2和x_P，
可得${x_p}=\frac{{2-4k_{OM}^2}}{{2k_{OM}^2+1}}$，${y_P}=\frac{{4{k_{OM}}}}{{2k_{OM}^2+1}}$，
从而${k_{BP}}=\frac{{\frac{{4{k_{OM}}}}{{2k_{OM}^2+1}}}}{{\frac{{2-4k_{OM}^2}}{{2k_{OM}^2+1}}-2}}=-\frac{1}{{2{k_{OM}}}}$，
所以只需证$-\frac{1}{{2{k_{OM}}}}={k_{ON}}$，即${k_{OM}}{k_{ON}}=-\frac{1}{2}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若直线MN的斜率不存在，易得x₁=x₂=±$\sqrt{3}$，
从而可得k_OMk_ON=-$\frac{3}{2}$，
若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，△=8（4k²+2-m²）＞0，${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|m|•|{x_1}-{x_2}|=\frac{1}{2}|m|•\frac{{\sqrt{8（4{k^2}+2-{m^2}）}}}{{2{k^2}+1}}=\sqrt{2}$，
化得m⁴-（4k²+2）m²+（2k²+1）²=0，得m²=2k²+1，${k_{OM}}•{k_{ON}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{2{m^2}-4}}=\frac{{2{k^2}+1-4{k^2}}}{{2（2{k^2}+1）-4}}=-\frac{1}{2}$．
故BP∥ON．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线平行的证明，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．