Question

4．已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．
（1）求曲线C的方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，可得曲线C的方程x²=4y．
（2）设E（a，-2），A，B的坐标，由题设知x₁²-2ax₁-8=0．同理可得：x₂²-2ax₂-8=0所以x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|的最小值；
（3）由（2）知AB中点，直线AB的方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．

解答 解：（1）∵曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1，
∴P的轨迹是以（0，1）为焦点的抛物线，曲线C的方程x²=4y；
（2）设E（a，-2），A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
∵$y=\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{1}{2}x$，过点A的抛物线切线方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}x$₁（x-x₁），
∵切线过E点，∴整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两根，∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，
可得AB中点为（a，$\frac{{a}^{2}+4}{2}$）
又${k}_{AB}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{a}{2}$，
∴直线AB的方程为y-$\frac{{a}^{2}+4}{2}$=$\frac{a}{2}$（x-a）即y=$\frac{a}{2}$x+2，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}•\sqrt{4{a}^{2}+32}$，
∴a=0时，|AB|的最小值为4$\sqrt{2}$；
（3）由（2）知AB中点N（a，$\frac{{a}^{2}+4}{2}$），直线AB的方程为y=$\frac{a}{2}$x+2．
当a≠0时，则AB的中垂线方程为y-$\frac{{a}^{2}+4}{2}$=-$\frac{2}{a}$（x-a），
∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M（$\frac{{a}^{3}+12a}{4}$，-2），
∴|MN|²=$\frac{1}{16}（{a}^{2}+8）^{2}（{a}^{2}+4）$
∵|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}•\sqrt{4{a}^{2}+32}$，
若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，
∴$\frac{1}{16}（{a}^{2}+8）^{2}（{a}^{2}+4）$=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}•\sqrt{4{a}^{2}+32}$）²，
解得a²=-4，∴不存在
当a=0时，经检验不存在满足条件的点M
综上可得，不存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要注意公式的灵活运用，注意计算能力的培养．