Question

16．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinA=acosC，c=$\sqrt{3}$．
（1）求角C；
（2）求acosB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求得$tanC=\sqrt{3}$，即可得解三角形内角C的值．
（2）根据正弦定理及已知可求acosB=2sinAcosB，由$B=\frac{2}{3}π-A$，利用三角函数恒等变换的应用可得acosB=-sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，利用正弦函数的图象和性质可求$sin（2A+\frac{π}{3}）∈[{-1，1}]$，进而可求acosB的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知及正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{1}{cosC}=\frac{c}{sinC}$，
因为：$c=\sqrt{3}$，
所以：$tanC=\sqrt{3}$，
所以：$C=\frac{π}{3}$．----------（4分）
（2）根据正弦定理可知：$a=\frac{c}{sinC}×sinA=2sinA$，
则：acosB=2sinAcosB，
因为：$A+B=\frac{2}{3}π$，
所以：$B=\frac{2}{3}π-A$，
所以：$acosB=2sinAcos（\frac{2}{3}π-A）$
=$2sinA（-\frac{1}{2}cosA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA）=-\frac{1}{2}sin2A-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2A+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-sin（2A+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
因为：$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
所以：$2A+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$，
所以：$sin（2A+\frac{π}{3}）∈[{-1，1}]$，
$则-sin（2A+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1}]$，
$即acosB∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1}]…（12分）$

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．