题目内容

已知圆C的圆心在第一象限，与x轴相切于点 $数学公式$ ，且与直线 $数学公式$ 也相切，则该圆的方程为 ________．

$\text{[math]}$
分析：要求圆A的方程，就要求出点A的坐标与圆的半径AC的长度，由题意可知过原点O的两条直线y= $\text{[math]}$ x与x轴都和圆A相切，根据切线长定理可得△AOB≌△AOC，由直线y= $\text{[math]}$ x可知直线的倾斜角的正切值等于直线的斜率等于 $\text{[math]}$ ，根据特殊角的三角函数值可得该直线的倾斜角为60°，则∠AOC就等于30°，由OC等于 $\text{[math]}$ 得到AC等于1，即可得到A的坐标和半径，根据圆心与半径写出圆的标准方程即可．
解答：

解：由直线y= $\text{[math]}$ x得到直线的斜率k=tan∠BOC= $\text{[math]}$ ，
所以∠BOC=60°
根据切线长定理可知，∠AOC= $\text{[math]}$ ∠BOC=30°
因为圆A与x轴相切，所以AC⊥OC，
由OC= $\text{[math]}$ 得到圆的半径AC=1，则圆心A（ $\text{[math]}$ ，1）
所以圆A的方程为： $\text{[math]}$ +（y-1）²=1
故答案为： $\text{[math]}$ +（y-1）²=1
点评：此题考查学生掌握直线的倾斜角与斜率的关系，灵活运用切线长定理及特殊角的三角函数值化简求值，会根据圆心与半径写出圆的标准方程，是一道中档题．