Question

13．△ABC在平面内，点P在外，PC⊥面ABC，且∠BPA=90°，则∠BCA是（　　）

• A． 直角
• B． 锐角
• C． 钝角
• D． 直角或锐角

Answer 1

分析 由线面垂直得出PC⊥AC，PC⊥BC，设AC=a，BC=b，PC=c，利用勾股定理计算AC，BC，AB，利用余弦定理计算cos∠ACB，判断cos∠ACB的符号得出答案．

解答 解∵PC⊥平面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC，
∴PC⊥AC，PC⊥BC．
设AC=a，BC=b，PC=c，
则PA=$\sqrt{P{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
∵∠BPA=90°，
∴AB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+2{c}^{2}+{b}^{2}}$，
∴AC²+BC²-AB²=a²+b²-（a²+b²+2c²）=-2c²＜0，
∴cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$＜0．
∴∠ACB为钝角．
故选：C．

点评 本题考查了线面垂直的性质，余弦定理，属于中档题．