Question

已知点A、B在抛物线y=2x2上，O为原点，

OA

•

OB

=0，则直线AB恒过（　　）

• A、（2，0）
• B、（0，2）
• C、(0，

  1

  8

  )
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：设出直线AB的方程为y=kx+b，再设出点A和B的坐标，根据

OA

•

OB

=0，根据平面向量的数量积的运算法则得到一个关于横坐标之积和纵坐标之积和的关系式，把A和B的坐标代入抛物线后，两式相乘得到两点纵坐标之积，将之积代入化简得到的关系中求出两点横坐标之积，然后联立直线AB与抛物线解析式，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两横坐标之积，两者相等列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，由直线AB恒过（0，b），把b的值代入即可确定出点的坐标．

解答：解：设直线AB的方程为：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根据

OA

•

OB

=0，得到x₁x₂+y₁y₂=0，
将A和B代入抛物线方程得：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，则y₁y₂=4（x₁x₂）²，
代入得：x₁x₂（4x₁x₂+1）=0，
由x₁x₂≠0，解得x₁x₂=-

1

4

，
联立直线AB与抛物线方程得：

y=2x2 y=kx+b

，
消去y得：2x²-kx-b=0，
当△=k²+8b≥0时，x₁x₂=-

b

2

，
所以-

b

2

=-

1

4

，解得b=

1

2

，
则直线AB的方程为y=kx+

1

2

，恒过（0，

1

2

）．
故选D

点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，直线与双曲线的综合，以及韦达定理．熟练掌握平面向量的数量积运算法则及韦达定理是解本题的关键．