Question

3．已知椭圆C的一个焦点F₁（$\sqrt{3}$，0），短轴的长为2，双曲线D以椭圆C的焦点为焦点，实轴长与椭圆C的短轴长相等．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求双曲线D的方程；
（3）求椭圆C与双曲线D相交所得的矩形面积S．

Answer 1

分析 （1）由c=$\sqrt{3}$，b=1，则a=2，即可求得椭圆C的方程；
（2）由c=$\sqrt{3}$，a=1，b²=c²-a²=3-1=2，即可求得双曲线的标准方程；
（3）联立椭圆及双曲线方程，求得交点坐标，根据矩形的面积公式，即可求得椭圆C与双曲线D相交所得的矩形面积S．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，由c=$\sqrt{3}$，b=1，则a=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）设双曲线的标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），
则c=$\sqrt{3}$，a=1，b²=c²-a²=3-1=2，
∴双曲线D的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{4}{3}}\\{{y}^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
则x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$×4=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
椭圆C与双曲线D相交所得的矩形面积为$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的标准方程及简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题，