Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，D为AC的中点，AC₁⊥平面A₁BD．
求证：
（1）B₁C∥平面A₁BD；
（2）B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁B与AB₁相交与点M，则M为A₁B中点，容易得到B₁C∥MD，利用线面平行的判定定理可证；
（2）只要证明B₁C₁垂直于平面ABB₁A₁的两条相交直线即可．

解答： 解：（1）如图，连接A₁B与AB₁相交与点M，则M为A₁B中点，
连接MD，又D为AC的中点，
∴B₁C∥MD．…（3分）
又B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（7分）
（2）∵AB=B₁B，
∴四边形ABB₁A₁为正方形，
∴A₁B⊥AB₁，…（9分）
又∵AC₁⊥平面A₁BD，
∴A₁B⊥AC₁，
∴A₁B⊥平面AB₁C₁…（12分）
∴A₁B⊥B₁C₁，
又∵B₁C₁⊥B₁B，且A₁B∩B₁B=B，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．（14分）

点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用．熟练掌握定理是关键．