Question

17．已知△ABC三个顶点是A（4，4），B（-4，2），C（2，0）．
（1）求AB边中线CD所在直线方程；
（2）求AB边上的高线所在方程；
（3）求△ABC的重心G的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出D的坐标，从而求出CD的方程；（2）求出AB的斜率，代入点斜式方程即可；（3）求出AE的方程，解方程组，求出G的坐标即可．

解答 解：（1）线段AB的中点$D（\frac{4-4}{2}，\frac{4+2}{2}）$，即D（0，3）．…（2分）
∴直线CD的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$，即3x+2y-6=0．…（3分）
∴AB边中线CD所在直线方程为3x+2y-6=0．…（4分）
（2）直线AB的斜率：${k_{AB}}=\frac{4-2}{4+4}=\frac{1}{4}$．…（5分）
所以所求直线的斜率：$k=-\frac{1}{{{k_{AB}}}}=-4$．…（6分）
又该直线过点C（2，0）．…（7分）
所以AB边上的高线所在方程为：y-0=-4（x-2），即4x+y-8=0．…（8分）
（3）线段BC的中点$E（\frac{2-4}{2}，\frac{0+2}{2}）$，即E（-1，1）．…（9分）
∴直线AE的方程为：$y-4=\frac{4-1}{4+1}（x-4）$，即3x-5y+8=0．…（10分）
∴BC边中线AE所在直线方程为3x-5y+8=0．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}3x+2y-6=0\\ 3x-5y+8=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=2\end{array}\right.$．…（分11）
所以△ABC的重心坐标$G（\frac{2}{3}，2）$．…（12分）

点评 本题考查了直线方程问题，考查斜率公式以及重心坐标，是一道基础题．