Question

7．已知x²+y²=1，则x²+xy+2y²的最大值与最小值分别为$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用圆的参数方程，结合二倍角、辅助角公式化简，即可求出x²+xy+2y²的最大值与最小值．

解答 解：令x=cosα，y=sinα，则x²+xy+2y²=1+cosαsinα+sin²α=1+$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$（1-cos2α）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α-45°），
∴sin（2α-45°）=-1时，x²+xy+2y²取得最小值$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
sin（2α-45°）=1时，x²+xy+2y²取得最大值$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查x²+xy+2y²的最大值与最小值，考查圆的参数方程、二倍角、辅助角公式的运用，属于中档题．