Question

1．设集合M={x|-a＜x＜a+1，a∈R}，集合N={x|x²-2x-3≤0}．
（1）当a=1时，求M∪N及N∩∁_RM；
（2）若x∈M是x∈N的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，利用集合的基本运算求M∪N及N∩∁_RM；
（2）利用x∈M是x∈N的充分条件，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）N={x|x²-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，
当a=1时，M={x|-a＜x＜a+1，a∈R}={x|-1＜x＜2}，
∴M∪N={x|-1≤x≤3}∪{x|-1＜x＜2}={x-1≤x≤3}，
N∩∁_RM={x|x=-1或2≤x≤3}；
（2）∵N={x|-1≤x≤3}，M={x|-a＜x＜a+1，a∈R}，
若x∈M是x∈N的充分条件，
则M⊆N，
若M=∅，即-a≥a+1，即a≤-$\frac{1}{2}$时，满足条件．
若M≠∅，要使M⊆N，
则 $\left\{\begin{array}{l}{-a＜a+1}\\{-a≥-1}\\{a+1≤3}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a＞-\frac{1}{2}}\\{a≤1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，

∴-$\frac{1}{2}$＜a≤1，
综上：a≤1．

点评 本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．