Question

5．已知函数f（x）=$\frac{a}{2}$x²-（a²+1）x+alnx（常数a∈R且a≠0），讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求导数，分a＜0，a＞1，0＜a＜1，和a=1进行讨论，可得f（x）的单调性．

解答 解：f′（x）=ax-（a²+1）+$\frac{a}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）（x-a）}{x}$，
（1）当a＜0时，f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递减；
（2）当a＞1时，f'（x）＜0解集为（$\frac{1}{a}$，a），f'（x）＞0解集为（0，$\frac{1}{a}$）∪（a，+∞），
∴f（x）在（$\frac{1}{a}$，a）递减，在（0，$\frac{1}{a}$），（a，+∞）上递增；
（3）当0＜a＜1时，f'（x）＜0解集为（a，$\frac{1}{a}$），f'（x）＞0解集为（0，a）∪（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴f（x）在（a，$\frac{1}{a}$）递减，在（0，a），（$\frac{1}{a}$，+∞）上递增；
（4）当a=1时，f'（x）＞0解集为（0，1）∪（1，+∞），
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）上递增，
且f（x）在x=1不间断，所以f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及单调性的性质和转化的思想，属中档题．