Question

5．如图所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由三视图得纸盒是正四面体，由正视图和俯视图得求出正四面体的棱长，由题意得小正四面体的外接球是纸盒的内切球，利用“设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{12}a$，外接球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{4}a$”，列出方程求出小正四面体的棱长的最大值．

解答 解：由三视图得纸盒是正四面体，
由正视图和俯视图得，正四面体的棱长是$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，
∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，
设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{12}a$，外接球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{4}a$，
∴纸盒的内切球半径是$\frac{\sqrt{6}}{12}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
设小正四面体的棱长是x，则$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}x$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴小正四面体的棱长的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查正四面体的三视图，正四面体的棱长与内切球的半径、外接球的半径关系式的应用，牢记结论是解题的关键，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．