Question

7．若-$\frac{π}{2}$＜β＜0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos（α+$\frac{β}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 将α+$\frac{β}{2}$转化为（ $\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$ ），然后利用两角和与差的余弦函数公式进行解答．

解答 解：∵-$\frac{π}{2}$＜β＜0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+α＜$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∵cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos（α+$\frac{β}{2}$）=cos[（ $\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$ ）]=cos（$\frac{π}{4}$+α）•cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+α）•sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了两角和与差的余弦函数．着重考查学生观察与变换的能力，属于中档题．