Question

3．数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，点（S_n，a_n+1）在直线y=3x+1上，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （I）根据递推公式可得{a_n}为等比数列，从而得出通项公式；
（II）求出b_n，利用分项求和得出T_n．

解答 解：（I）由题意得a_n+1=3S_n+1，∴a_n=3S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=3a_n（n≥2），即a_n+1=4a_n，
又a₂=3a₁+1=4=4a₁，
∴{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列．
∴${a_n}={4^{n-1}}$．
（II）${b_n}={log_4}{4^n}=n$，∴${c_n}={4^{n-1}}+n$，
∴${T_n}=1•\frac{{1-{4^n}}}{1-4}+\frac{（n+1）n}{2}=\frac{1}{3}•{4^n}+\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了等比关系的确定，等差数列，等比数列的求和公式，属于中档题．